Études de fonctions trigonométriques avec corrigés

Directives

Pour tous les exercices (sauf mention contraire) : faire une étude complète de la fonction donnée incluant

• ensemble de définition; le cas échéant : parité, périodicité;
• signe de la fonction;
• dérivée, signe de la dérivée;
• dérivée seconde, signe de la dérivée seconde;
• tableau de variations avec intervalles de monotonie et de convexité;
• limites et asymptotes éventuelles;
• graphique de la fonction.

Études de fonctions trigonométriques

Exercice corrigé t-01
\[f(x)= \sin (x)\sin (2x)\]

Exercice corrigé t-02
\[f(x)= \sin (x)(1+ \cos (x))\]

Exercice corrigé t-03
\[f(x)= \tan ^2(x) \sqrt{1-\cos (x)}\] Directive : l'usage de la dérivée seconde n'est pas demandé.

Exercice corrigé t-04
\[ f(x)= \cos (x) \cos (2 x)\]

Exercice corrigé t-05
\[f(x)= \frac{2 \cos (x)+1}{2+\cos (x)}\]

Exercice corrigé t-06
\[f(x)= \frac{x }{2}- \sin (x)\] Directives : faire une étude détaillée de f sur l'intervalle [-4 π, 4 π], avec usage des dérivées première et seconde, à l'exception des zéros de f qui se sont pas demandés, et faire un graphique.

En coulisses

Les corrigés ont été fabriqués comme suit :

1. Avec le logiciel Mathematica de Wolfram
   • le package EtudeFct automatise partiellement les études de fonctions ; le système ne produit pas le tableau de variations proprement dit, mais fournit les informations nécessaires ; le lecteur est invité à les assembler et les mettre en forme ; le graphique est donné ;
   • l'output est converti en langage LaTex.
2. Avec un éditeur Tex : la mise en forme du document LaTex est retravaillée, et la conversion en PDF est effectuée.
3. Le tableau de variations est ajouté après coup :
   • avec l'application en ligne Créer le tableau de variations, un fichier .svg est enregistré ;
   • avec l'application gratuite GIMP, l'image .svg est convertie en fichier .eps ;
   • avec l'éditeur Tex, l'image .eps est insérée dans le document LaTex.