Études de fractions rationnelles avec corrigés

Directives

Pour tous les exercices (sauf mention contraire) : faire une étude complète de la fonction donnée incluant

  • ensemble de définition; le cas échéant : parité, périodicité;
  • signe de la fonction;
  • dérivée, signe de la dérivée;
  • dérivée seconde, signe de la dérivée seconde;
  • tableau de variations avec intervalles de monotonie et de convexité;
  • limites et asymptotes éventuelles;
  • graphique de la fonction.

Lorsque le calcul numérique d'un zéro est demandé, le choix de la méthode est libre : méthode de la bissection, méthode de la sécante, méthode de Newton, ou autre.

Étude de fonctions polynomiales

Exercice corrigé r0-01
Discuter, en fonction du paramètre réel m, le nombre de racines de l’équation \[x^3+2 x^2=8x+m\] Directive : Faire une étude complète la fonction \[ f(x) = x^3+2 x^2-8x\] puis discuter graphiquement le nombre de solutions de l’équation \[ f(x) = m \]

Exercice corrigé r0-02
On donne la fonction \[f(x)= x^3 + b x^2 + c x\] où b et c sont deux constantes. Calculer les valeurs qu'il faut attribuer à b et c pour que la fonction possède un extremum en x=3 et que la tangente à f en x=3 coupe le graphe de la fonction f en x=1.

Étude de fractions rationnelles
(= quotients de deux polynômes)

Exercice corrigé r1-01
\[f(x)= \frac{x^2-3x+2}{x^2}\]

Exercice corrigé r1-02
\[f(x)= \frac{x^3}{2(x+1)^2}\]

Exercice corrigé r1-03
\[f(x)=\frac{(x+1)^3}{x^2+3x}\]

Exercice corrigé r1-04
\[f(x)= \frac{ \left.x^2\right/2+2 x-4}{x-2}\]

Exercice corrigé r1-05
\[f(x)=\frac{x^2}{x^2-3 x+2}\] Directive : Il n’est pas demandé de faire usage de la dérivée seconde.

Exercice corrigé r1-06
\[f(x)= \frac{x^2-x+1}{x+1}\]

Exercice corrigé r1-07
\[f(x)=\frac{x^3-4 x^2+5 x -6}{(x-1)^2}\] Indication : Un zéro de la fonction est un petit nombre entier.

Exercice corrigé r1-08
\[f(x)= \frac{x^3}{x-2}\]

Exercice corrigé r1-09
\[f(x)=\frac{x^3}{3 x^2-1}+\frac{1}{2}\] Directive : Les zéros de la fonction ne sont pas demandés.

Étude de fractions rationnelles avec calcul numérique de zéros

Exercice corrigé r2-01
\[f(x)= \frac{2x^3-x^2+1}{x^3}\] Indication : Reporter la détermination des zéros de f à la fin de l’étude. Déterminer la valeur numérique du zéro de f à la précision de ±0.05

Exercice corrigé r2-02
\[h(x)= x^3-x^2+4\] Directive : Reporter la détermination des zéros de h à la fin de l'étude de h. Calculer les zéros de h à la précision de ±0.05 \[f(x)=\frac{x^3}{x^2-4}-1\] Indication : Les résultats de l'étude de h sont utiles pour l'étude de f.

Exercice corrigé r2-03
\[f(x)=\frac{x^2}{x^3+1}\] Directive : On déterminera les valeurs numériques des points d’inflexion à la précision de ± 0.05

Exercice corrigé r2-04
\[f(x)= \frac{27 x}{(x-2)^2}-x-3\] Indication : Reporter la détermination des zéros de la fonction à la fin de l’étude. Calculer leurs valeurs numériques à la précision de ±0.05

Les corrigés ont été fabriqués comme suit :

  1. Avec le logiciel Mathematica de Wolfram
    • le package EtudeFct automatise partiellement les études de fonctions ; le système ne produit pas le tableau de variations proprement dit, mais fournit les informations nécessaires ; le graphique est donné ;
    • l'output est converti en langage LaTex.
  2. Avec un éditeur Tex : la mise en forme du document LaTex est retravaillée, et la conversion en PDF est effectuée.
  3. Le tableau de variations est ajouté après coup :
    • avec l'application en ligne Créer le tableau de variations, un fichier .svg est enregistré ;
    • avec l'application gratuite GIMP, l'image .svg est convertie en fichier .eps ;
    • avec l'éditeur Tex, l'image .eps est insérée dans le document LaTex.

Exception : l'exercice r1-09 a été rédigé en Mathematica sans utiliser le package EtudeFct, puis directement imprimé en PDF.

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