Dénombrements

Dans la liste ci-dessous, sélectionner l'exemple type adapté à votre question.

Arrangements simples

Combien de mots de 5 lettres différentes peut-on former avec les 26 lettres de l'alphabet?

Exemples de mots: ABCDE, BCDEA, QWERT, JUSGV, ...
Les mots ABCDE, BCDEA sont à compter comme deux mots distincts; «arrangement» signifie que l'ordre des éléments est pris en compte.
Des mots tels que AABCD sont exclus; arrangement «simple» signifie sans répétition.

Modèle: dans une urne se trouvent 26 jetons différents; on effectue 5 tirages successifs sans remise, et on note les résultats dans l'ordre. Combien de résultats possibles?

Arrangements avec répétitions

Combien de mots de 5 lettres peut-on former avec les 26 lettres de l'alphabet?

Exemples de mots: ABCDE, ABCCD, BCDEA, QWERT, JJJJJ, ...
Les mots ABCDE, BCDEA sont à compter comme deux mots distincts; «arrangement» signifie que l'ordre des éléments est pris en compte.
Des mots tels que AAACD sont à compter comme arrangement «avec répétitions».

Modèle: dans une urne se trouvent 26 jetons différents; on effectue 5 tirages successifs avec remises, et on note les résultats dans l'ordre. Combien de résultats possibles?

Permutations simples

Combien de mots de 5 lettres différentes peut-on former avec les 5 lettres ABCDE?

Exemples de mots: ABCDE, BCDEA, ECDAB, ...
Il s'agit du cas particulier de «arrangement simples» où chaque élément à disposition doit être pris une et une seule fois.
En d'autres termes, il s'agit de compter le nombre de manières d'ordonner les éléments.

Modèle: dans une urne se trouvent 5 jetons différents; on tire successivement sans remise tous les jetons et on note les résultats dans l'ordre. Combien de résultats possibles?

Permutations avec répétitions

Combien de mots peut-on former avec 2 R, 3 V et 4 B ?

Exemples de mots: RRVVVBBBB, RVBBRBVVB, ...
Il s'agit de compter des «arrangements» puisque l'ordre des éléments doit être pris en compte.

Modèle: dans une urne se trouvent 2 jetons rouges identiques, 3 jetons verts identiques et 4 jetons bleus identiques; on tire successivement sans remise tous les jetons et on note les résultats dans l'ordre. Combien de résultats possibles?

Permutations avec ou sans point(s) fixe(s)

Exemple type: initialement, n cartes numérotées de 1 à n sont disposées sur une ligne selon l'ordre croissant.

On brasse les cartes et on les replace sur la ligne. Calculer le nombre d'arrangements dans lesquels il y a exactement 3 cartes qui se retrouvent à leurs places originelles.

On dit que l'on cherche le nombre de permutations de n éléments avec 3 points fixes.

Combinaisons simples

D'un jeu de 36 cartes, combien de mains de 5 cartes peut-on recevoir? (Une main est l'ensemble des cartes qu'un joueur tient dans sa main).

Exemples de mains: {as coeur, roi pique, dame carreau, 9 trèfle, 7 carreau}, {roi coeur, 8 pique, dame carreau, as trèfle, 7 carreau}, ...
Les mains {as coeur, roi pique, dame carreau, 9 trèfle, 7 carreau}, {roi pique, as coeur, dame carreau, 9 trèfle, 7 carreau} doivent être considérées comme identiques; compter les «combinaisons» signifie que l'ordre des éléments n'est pas pris en compte.
Combinaison «simple» signifie que les éléments ne peuvent pas être répétés: par exemple, la main {roi coeur, roi coeur, dame carreau, as trèfle, 7 carreau} est exclue; il s'agit d'un tirage sans remise.

Modèle: dans une urne se trouvent 36 cartes distinctes; on en tire successivement 5 sans remise, et on note les résultats sans tenir compte de l'ordre. Combien de résultats possibles?
Pour noter les résultats sans tenir compte de l'ordre, on peut procéder ainsi: on dispose de formulaires imprimés contenant la liste des 36 cartes; pour chaque tirage de 5, on prend un formulaire vierge sur lequel on coche les 5 cartes sorties; de combien de manières peut-on avoir 5 cases cochées sur 36 ?

Combinaisons avec répétitions

Muni de 5 «bon pour une boisson», vous allez prendre livraison à un bar que peut délivrer 8 sortes de boissons dénommées ABCDEFGH. De combien de manières cette livraison peut-elle être réalisée?

Exemples de livraisons: ACCCG, BHHHH, ...
Les livraisons AACCC et ACACC doivent être considérés comme identiques; compter les «combinaisons» signifie que l'ordre des éléments n'est pas pris en compte.
Combinaisons «avec répétitions» signifie que les éléments peuvent être répétés.

Modèle: dans une urne se trouvent 8 jetons distincts; on en tire successivement 5 avec remises, et on note les résultats sans tenir compte de l'ordre. Combien de résultats possibles?
Pour noter les résultats sans tenir compte de l'ordre, on peut procéder ainsi: on dispose de formulaires imprimés portant les noms des 8 jetons à raison d'un jeton par ligne; pour chaque tirage de 5, on prend un formulaire vierge sur lequel on répartit 5 coches sur les 8 lignes; de combien de manières peut-on avoir 5 coches disposées sur 8 lignes?

Il est parfois nécessaire de décomposer le problème en plusieurs parties. Les rubriques suivantes donnent des méthodes usuelles.

Choix successifs

Dans un restaurant, pour composer un repas, on choisit l'entrée parmi 3 possibilités, le plat principal parmi 2 et le dessert parmi 4. Combien de repas différents peut-on composer?

Partition

Combien de mots de moins de 5 lettres peut-on former avec les 26 lettres de l'alphabet?

Complémentaire

Avec les 26 lettres de l'alphabet, combien peut-on former de mots de 5 lettres comportant au moins 2 lettres répétées?

Classes d'équivalence

De combien de manières 6 personnes peuvent-elles former une ronde?