Combinaisons simples

Exemple type

D'un jeu de 36 cartes, combien de mains de 5 cartes peut-on recevoir? (Une main est l'ensemble des cartes qu'un joueur tient dans sa main).

Exemples de mains: {as coeur, roi pique, dame carreau, 9 trèfle, 7 carreau}, {roi coeur, 8 pique, dame carreau, as trèfle, 7 carreau}, ...
Les mains {as coeur, roi pique, dame carreau, 9 trèfle, 7 carreau}, {roi pique, as coeur, dame carreau, 9 trèfle, 7 carreau} doivent être considérées comme identiques; compter les «combinaisons» signifie que l'ordre des éléments n'est pas pris en compte.
Combinaison «simple» signifie que les éléments ne peuvent pas être répétés: par exemple, la main {roi coeur, roi coeur, dame carreau, as trèfle, 7 carreau} est exclue; il s'agit d'un tirage sans remise.

Modèle

Dans une urne se trouvent 36 cartes distinctes; on en tire successivement 5 sans remise, et on note les résultats sans tenir compte de l'ordre. Combien de résultats possibles?
Pour noter les résultats sans tenir compte de l'ordre, on peut procéder ainsi: on dispose de formulaires imprimés contenant la liste des 36 cartes; pour chaque tirage de 5, on prend un formulaire vierge sur lequel on coche les 5 cartes sorties; de combien de manières peut-on avoir 5 cases cochées sur 36 ?

Nombre de combinaisons simples de n éléments pris k à k

Dans une urne se trouvent n éléments distincts; on en tire successivement k sans remise, et on note les résultats sans tenir compte de l'ordre (pour ce faire, imaginer, pour chaque tirage de k éléments, un formulaire imprimé contenant la liste des n éléments sur lequel on coche les k sortis). Combien de résultats possibles (c'est-à-dire de formulaires distincts)?

\[ C_k^n = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!} \] \[ \text{où} \quad 0 \leq k \leq n \]

Cette expression est appelée coefficient binomial et se lit k parmi n.

Calcul en ligne

Nombre d'éléments à disposition n =

Nombre d'éléments choisis k =