Calcul numérique en ligne de la racine carrée de 2 jusqu'à 140 décimales au moyen de la méthode de Newton |
Méthode de NewtonPour déterminer des valeurs numériques très précises de la racine carrée de 2, appliquons la méthode de Newton à la recherche des zéros de la fonction \( f(x) = x^2 - 2 \) \[ \begin{align} x_0&=2 \\ x_n&=\frac{1}{2} \left(x_{n-1} + \frac{2}{x_{n-1}}\right) \\ \sqrt{2}&=\lim_{n \to \infty} x_n \end{align} \]Explication \[ \begin{align} x_n&=x_{n-1} - \frac{f(x_{n-1})}{f'(x_{n-1})} \\ &=x_{n-1} - \frac{x_{n-1}^2 - 2}{2 x_{n-1}} \\ &=x_{n-1} - \frac{x_{n-1}}{2} + \frac{1}{x_{n-1}} \\ &=\frac{x_{n-1}}{2} + \frac{1}{x_{n-1}} \\ &=\frac{1}{2}\left(x_{n-1} + \frac{2}{x_{n-1}}\right) \end{align} \]Calcul à la précision fixée, critère d'arrêtLa précision du calcul est fixée à l'avance (nombre de chiffres après le point décimal). Étant donné que la suite des approximations est strictement décroissante, le calcul est interrompu lorsque \[ x_n \geq x_{n-1} \]Algorithme
x = 2;
x0 = x; jusqu'à ce que x >= x0; |
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