√2 est irrationnel

Introduction

On peut construire un triangle rectangle dont les trois côtés ont pour mesure des nombres entiers:

Est-il possible de construire un carré dont le côté b et la diagonale a soient tous deux mesurés par des nombres entiers ? (La figure ci-dessous représente la moitié du carré qui est un triangle rectangle isocèle).

D'après le théorème de Pythagore

\[ \begin{equation*} \begin{aligned} b^2+b^2&=a^2\\ 2b^2&=a^2\\ 2&=\left(\frac{a}{b}\right)^2\\ \frac{a}{b}&=\sqrt{2} \end{aligned} \end{equation*} \]

S'il est possible de trouver des entiers a, b  qui vérifient cette égalité, on dit que √2 est un nombre rationnel, sinon on dit que √2 est un nombre irrationnel.

Démonstration de « √2 est irrationnel »

Supposons par l'absurde que √2 soit rationnel : alors \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) où a, b sont des nombres entiers positifs. Il est possible de simplifier la fraction \(\frac{a}{b}\) jusqu'à ce que a, b soient premiers entre eux (c'est-à-dire la fraction \(\frac{a}{b}\) ne puisse plus être simplifiée).  

\[ \begin{equation*} \begin{aligned} \sqrt{2}&=\frac{a}{b}\\ \sqrt{2} \, b&=a\\ 2 \, b^2&=a^2 \end{aligned} \end{equation*} \]

Puisque a² est pair, a est pair et   a = 2 p   où p est un entier positif.

\[ \begin{equation*} \begin{aligned} 2\,b^2&=(2\,p)^2\\ 2\,b^2&=4\,p^2\\ b^2&=2\, p^2 \end{aligned} \end{equation*} \]

Puisque b² est pair, b est pair. Par conséquent, il est possible de simplifier la fraction \(\frac{a}{b}\) par 2, ce qui contredit l'hypothèse que a, b sont premiers entre eux.

Puisque l'hypothèse « √2 est rationnel » conduit à une contradiction, c'est le contraire qui est vrai, à savoir « √2 est irrationnel ».

Généralisation

Démonstration de « √n est irrationnel si n n'est pas un carré » par contraposition

Prolongement

Le développement de tout nombre irrationnel est illimité et non périodique