n est irrationnel si n n'est pas un carré

Démonstration par contraposition

Proposition

Pour tout entier positif \(n\) qui n'est pas un carré, si \(c=\sqrt{n}\), alors \(c\) est irrationnel.

Forme contraposée de la proposition

Pour tout entier positif \(n\) qui n'est pas un carré, si \(c\) est rationnel, alors \(c\neq \sqrt{n}\).

Reformulation

Si \(c\) est rationnel, alors \(c=\frac{a}{b}\) où \(a\), \(b\) sont des entiers positifs. Pour tout entier positif \(n\) qui n'est pas un carré, il faut montrer que \(\frac{a}{b} \neq \sqrt{n}\) ou que \(a \neq \sqrt{n} \, b\). Pour ce faire, il suffit de démontrer le lemme suivant.

Lemme

Pour tout entier positif \(n\) qui n'est pas un carré, \(a^2 \neq n b^2\) quels que soient les entiers positifs \(a\), \(b\).

Démonstration du lemme

Si, dans la décomposition en facteurs premiers de l'entier positif \(n\), tous les exposants sont pairs, alors \(n\) est un carré. Donc, si \(n\) n'est pas un carré, la décomposition de \(n\) en facteurs premiers contient au moins un facteur dont l'exposant est impair. Mettons un tel facteur en évidence:

\[ n = p^{2 q + 1} n_{1}\]

où \(p\) est premier, \(2 q+1\) est l'exposant impair et \(n_{1}\) est un facteur qui n'est pas divisible par \(p\). (Exemple numérique: \(n=20\), \(p=5\), \(2q+1=1\), \(n_{1}=4\))

En divisant itérativement \(a\) par \(p\), on obtient

\[ a = p^{k} a_{1}\]

où \(k\) est un entier non négatif et \(a_{1}\) un entier positif non divisible par \(p\). Il s'ensuit que

\[ a^2 = p^{2 k} a_{1}^2\]

où l'exposant de \(p\) est pair et \(a_{1}^2\) est un entier positif non divisible par \(p\).

En procédant de même pour \(b\), on obtient

\[ b = p^{m} b_{1}\]

où \(m\) est un entier non négatif et \(b_{1}\) un entier positif non divisible par \(p\). Il s'ensuit que

\[ n b^2 = p^{2 (q+m) + 1} n_{1} b_{1}^2\]

où l'exposant de \(p\) est impair et \(n_{1} b_{1}^2\) est un entier positif non divisible par \(p\) .

Comme la décomposition en facteurs premiers est unique, en comparant les exposants de \(p\), on conclut que \(a^2\) et \(n b^2\) sont distincts.

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