Le développement décimal de tout nombre irrationnel est illimité et non périodique

Idée de la démonstration

Introduction

Voici les premières décimales du nombre « racine carrée de 2 » :

1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 738...

En utilisant un résultat établi antérieurement : 2 est irrationnel, on peut déduire du théorème suivant que le développement décimal de √2 est illimité et non périodique.

Théorème

Le développement décimal de tout nombre irrationnel est illimité et non périodique.

Théorème équivalent (contraposition du théorème précédent)

Soit x un nombre réel. Si le développement décimal de x est fini ou (illimité et périodique), alors x est un nombre rationnel.

Idée de la démonstration

1. Dans le cas du développement décimal fini

Pour expliquer l'idée de la démonstration, prenons un exemple: x = 84.537; on a donc   "DeveloppementDecimal.htm_3.gif", ce qui montre que x est rationnel.

Cette idée peut être généralisée en une démonstration formelle.

2. Dans le cas du développement décimal illimité et périodique

Pour expliquer l'idée de la démonstration, prenons comme exemple  x = 4.5673673673673... = 4.5"DeveloppementDecimal.htm_4.gif";
on a     10 x = 45."DeveloppementDecimal.htm_5.gif"    et   10000 x = 45673."DeveloppementDecimal.htm_6.gif"  (remarquez que le point décimal est placé immédiatement devant une période et que les deux nombres ont des parties décimales identiques) d'où  

"DeveloppementDecimal.htm_7.gif"

"DeveloppementDecimal.htm_8.gif"

"DeveloppementDecimal.htm_9.gif"

ce qui montre que x est rationnel.
Cette méthode peut être généralisée en une démonstration formelle.

Règle pour le cas du développement décimal illimité et périodique

En extrayant et nommant

  • la partie décimale non périodique, ici 5, soit 1 chiffre non périodique;
  • la partie décimale périodique, ici 673, soit 3 chiffres périodiques;

on peut formuler une règle générale

  • le dénominateur 9990 est formé d'autant de 9 que de chiffres périodiques, suivis d'autant de 0 que de chiffres non périodiques;
  • le numérateur est la différence entre deux nombres formés comme suit:
    • les chiffres jusqu'à la fin de la première période, ici 45673;
    • les chiffres jusqu'avant la première période, ici 45.
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