Ensemble des solutions d'un système de m équations linéaires à n inconnues

Calculateur en ligne

Entrer les données dans le calculateur

Exemple

Le formulaire ci-dessous est initialement rempli afin de résoudre le système de deux équations linéaires à trois inconnues:

\[ \left\{ \begin{array}{cccc} x &+ 0.5 y &+\frac{1}{3} z &= \frac{4}{3} \\ \frac{2}{5} x & &- 1.6 z &= -8.5 \end{array} \right. \]

Le nombre d'équations (ou nombre de lignes), le nombre d'inconnues et les valeurs numériques des coefficients peuvent être librement choisis.

Pour enregistrer les données, on peut les copier/coller dans un fichier texte (*.txt).

Le nombre d'inconnues est indiqué par le nombre de colonnes. Les coefficients des inconnues sont séparés par un espace ou un retour à la ligne. Deux lignes consécutives sont séparées par un point-virgule.

Deux coefficients sont séparés par un espace ou un retour à la ligne.

Précisions sur l'output

Calculs

Le rang de la matrice et la dimension du noyau sont calculés. Si la matrice est carrée, le déterminant est calculé. Si le membre de droite est donné, l'ensemble des solutions est calculé.

Si le système possède une infinité de solutions, une base du noyau est calculée et les solutions sont exprimées sous la forme d'un système paramétrique. Application: transformation d'un système linéaire cartésien en un système paramétrique.

Le calcul en ligne est réalisé, si possible, avec une méthode algébrique exacte, avec des nombres rationnels, des racines carrées ou des nombres complexes, plus précisément, dans des extensions quadratiques itérées du corps des rationnels. Des valeurs numériques approchées en virgule flottante sont aussi données.

Précisions sur l'input

Entrée des données

Par exemple, pour le système de 2 équations à 3 inconnues

\[ \left\{ \begin{array}{cccc} a_{11} \ x &+ \ a_{12} \ y &+ \ a_{13} \ z &= b_{1} \\ a_{21} \ x &+ \ a_{22} \ y &+ \ a_{23} \ z &= b_{2} \end{array} \right. \]

la matrice à donner est de la forme

\[ \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{array} \right) \]

et le membre de droite est

\[ \left( \begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \end{array} \right) \]

Forme des coefficients

Les coefficients peuvent être

  • des nombres entiers comme -123
  • des nombres rationnels comme -17/3
  • des nombres en virgule flottante comme 41.7e-3
  • des expressions comportant des racines carrées de rationnels comme 4/5|3/7|6
  • des nombres complexes comme 5/7|2/3|-1
  • des nombres complexes irrationnels comme 5/7|-2/3|-6

Signification des symboles utilisés

\[ \begin{array}{rl} \text{41.7e-3} &= \frac{417}{10000} \\ \text{a|b|c} &= a \ + b \sqrt{c} \\ \text{4/5|3/7|6} &= \frac{4}{5} \ + \ \frac{3}{7} \sqrt{6} \\ \text{5/7|2/3|-1} &= \frac{5}{7} \ + \ i \left( \frac{2}{3} \right) \\ \text{5/7|-2/3|-6} &= \frac{5}{7} \ + \ i \left( -\frac{2}{3} \sqrt{6} \right) \end{array} \]

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