Tédraèdre

Éléments finis tétraédriques de classe C1 et de degré deux

Questions et réponses (FAQ)

Question 1

Quelques informations pour choisir entre la variante II ou la variante I-C

Un espoir du travail de thèse était de généraliser en dimension trois la solution en dimension deux dont les fonctions de base sont purement polynomiales par morceaux, ce qui aurait permis de calculer les valeurs exactes des intégrales. Cet objectif s'est malheureusement avéré chimérique. Le § 10, p. 182, a été écrit dans la perspective théorique de calculer chaque intégrale une seule fois sur les fonctions de référence, le plus précisément possible, puis de la mettre en mémoire dans un tableau.

Plaçons-nous maintenant dans le point de vue plus pragmatique d'utiliser des formules d'intégration numérique approchée.

Variante II

Avantages

  • Les fonctions de base sont définies sur le tétraèdre en tant que morceau d'un seul tenant.
  • Les fonctions de base sont continûment dérivables une infinité de fois à l'intérieur de chaque tétraèdre du maillage.
  • On peut espérer, mais cela reste à vérifier, que les formules d'intégration numérique soient relativement efficaces.

Inconvénients

  • Il y a 52 fonctions de référence qui sont des fractions rationnelles.
  • Il n'y a pas d'élément fini de référence, au sens usuel. Cela signifie que, pour chaque tétraèdre du maillage, il faut se référer aux coefficients calculés par le programme.

Variante I-C

Avantages

  • Il y a 44 fonctions de référence.
  • Il existe un élément fini de référence au sens usuel.

Inconvénients

  • Certaines fonctions de référence, des fractions rationnelles, sont définies par morceaux: chaque tétraèdre est divisé en trois sous-tétraèdres dont une arête va d'un sommet au milieu de la face opposée. Les produits et les combinaisons de ces fonctions subdivisent implicitement chaque tétraèdre en 12 morceaux.
  • À l'intérieur de chaque tétraèdre entier, les dérivées secondes des fonctions d'interpolation sont généralement discontinues dans les plans de raccordement entre les morceaux.
  • Appliquées à un tétraèdre entier, les formules d'intégration numérique peuvent manquer d'efficacité: dans le contexte des tests de G. Dupuis, il faut au moins 14 points.

Question 3

Peut-on écourter sans dommage le code du programme ?

Si on ne fait appel qu'à l'interpolation proprement dite (voir § 7.2-2, p. 101 ou § 8.2-2, p. 127) avec FE2P16, FINT et DFINT, on peut laisser tomber les subroutines qui construisent la base d'Hermite: ELEM3, HERM et DHERM (voir § 7 et § 8).

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