Calcul numérique en ligne jusqu'à 140 décimales de la racine k^ième du nombre réel positif a

Méthode de Newton

Pour déterminer des valeurs numériques précises de la racine k-ième du nombre réel a, appliquons la méthode de Newton à la recherche des zéros de la fonction \( f(x) = x^k - a \)

\[ \begin{align} x_0&=\text{ approximation de } \sqrt[k]{x} \\ x_n&=\frac{1}{k} \left( (k-1) x_{n-1} + \frac{a}{x_{n-1}^{k-1}} \right) \\ \sqrt[k]{a}&=\lim_{n \to \infty} x_n \end{align} \]

Explication

\[ \begin{align} x_n&=x_{n-1} - \frac{f(x_{n-1})}{f'(x_{n-1})} \\ &=x_{n-1} - \frac{x_{n-1}^k - a}{k x_{n-1}^{k-1}} \\ &=x_{n-1} - \frac{x_{n-1}}{k} + \frac{a}{k x_{n-1}^{k-1}} \\ &=\frac{(k-1) x_{n-1}}{k} + \frac{a}{k x_{n-1}^{k-1}} \\ &=\frac{1}{k}\left( (k-1) x_{n-1} + \frac{a}{x_{n-1}^{k-1}} \right) \end{align} \]

Calcul à la précision fixée, critère d'arrêt

La précision du calcul est fixée à l'avance (nombre de chiffres après le point décimal). Étant donné que, à partir de \( x_1 \), la suite des approximations est strictement décroissante, le calcul est interrompu lorsque

\[ x_n \geq x_{n-1} \]

Algorithme