Ensemble de Mandelbrot |
Définition et algorithmeUne loi déterministe relativement simple peut engendrer un système d'une complexité inouïe. Définition de l'ensemble de MandelbrotPour chaque point \( (a, b) \) du plan, on considère la transformation \( \ T \ \)du plan \[ (x,\ y) \longmapsto (x^2-y^2+a, \ 2 x y + b) \]puis la suite infinie de points du plan \( P_0 = (0, 0) \), \( P_1=T(P_0)=(a, b) \), \( P_2 = T(P_1) \), \( P_3 = T(P_2) \), ... Si la suite de points est bornée, alors le point \( (a, b) \) appartient à l'ensemble de Mandelbrot. Par contre, si une sous-suite tend vers l'infini, alors \( (a, b) \) n'appartient pas à l'ensemble de Mandelbrot. Réalisation pratique (approximation)On se limite à une suite finie de points \( P_0, P_1, P_2, ... \) dont le dernier indice sera dénommé nbIter. Si la suite de points demeure dans le carré [-2; 2]×[-2; 2], alors (a, b) appartient à l'ensemble de Mandelbrot. Par contre, si un point sort du carré, alors (a, b) n'appartient pas à l'ensemble de Mandelbrot. Algorithme
Input (a, b)
(x,y) = (x^2-y^2+a, 2*x*y+b) Output n Interprétation et programme
Programme MathematicaCliquer sur l'image pour la télécharger aux dimensions 1260×900FractaleL'ensemble de Mandelbrot est un objet fractal: chacune de ses parties, aussi petite que l'on veut, est similaire au tout, comme le montre la suite de zooms ci-après. Agrandissement 44 fois. Cette région est appelée "La vallée des hyppocampes": x ∈ [-0.80; -0.72]; ycentre = 0.15 |
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