Tétraèdre

Ensemble de Mandelbrot

Définition et algorithme

Une loi déterministe relativement simple peut engendrer un système d'une complexité inouïe.

Définition de l'ensemble de Mandelbrot

Pour chaque point (a, b) du plan, on considère la transformation T du plan
(x, y) → (x2 - y2 + a, 2 x y + b), puis la suite infinie de points du plan P0 = (0, 0), P1 = T(P0) = (a, b), P2 = T(P1),P3 = T(P2), ... Si la suite de points est bornée, alors le point (a, b) appartient à l'ensemble de Mandelbrot. Par contre, si une sous-suite tend vers l'infini, alors (a, b) n'appartient pas à l'ensemble de Mandelbrot.

Réalisation pratique (approximation)

On se limite à une suite finie de points P0, P1, P2, ... dont le dernier indice sera dénommé nbIter. Si la suite de points demeure dans le carré [-2; 2]×[-2; 2], alors (a, b) appartient à l'ensemble de Mandelbrot. Par contre, si un point sort du carré, alors (a, b) n'appartient pas à l'ensemble de Mandelbrot.

Algorithme

Input (a, b)
(x, y) = (0, 0)
n = 0; nbIter = 1023
Tant que (-2<=x<=2) et (-2<=y<=2) et (n<nbIter)

(x,y) = (x^2-y^2+a, 2*x*y+b)
n = n + 1

Output n

Interprétation et programme

  • Si n = 0, alors (a, b) n'appartient pas à l'ensemble de Mandelbrot et le pixel (a, b) est coloré en bleu;
  • si n = nbIter, alors (a, b) appartient (probablement) à l'ensemble de Mandelbrot et le pixel (a, b) est coloré en rouge;
  • si (0<n<nbIter) alors (a, b) n'appartient pas à l'ensemble de Mandelbrot et le pixel (a, b) prend une couleur intermédiaire selon une échelle en usage pour les températures.

Programme Mathematica

Fractale

L'ensemble de Mandelbrot est un objet fractal: chacune de ses parties, aussi petite que l'on veut, est similaire au tout, comme le montre la suite de zooms ci-après.

Cliquer sur l'image pour la télécharger aux dimensions 1260×900

Ensemble de Mandelbrot

Ensemble de Mandelbrot: x ∈ [-2; 1.5]; ycentre = 0

Hyppocampes 1

Agrandissement 44 fois. Cette région est appelée "La vallée des hyppocampes": x ∈ [-0.80; -0.72]; ycentre = 0.15

Hyppocampes 2

Agrandissement 233 fois. Dans la vallée des hyppocampes: x ∈ [-0.75; -0.735]; ycentre = 0.15

Hyppocampes 3

Agrandissement 1'167 fois. Dans la vallée des hyppocampes: x ∈ [-0.743; -0.74]; ycentre = 0.153

Hyppocampes 4

Agrandissement 3'500 fois. Dans la vallée des hyppocampes: x ∈ [-0.743; -0.742]; ycentre = 0.1521

Hyppocampes 5

Agrandissement 700'000 fois. Dans la vallée des hyppocampes: x ∈ [-0.742505; -0.7425]; ycentre = 0.152115

Hyppocampes 6

Agrandissement 35'000'000 fois. Dans la vallée des hyppocampes: x ∈ [-0.7425039; -0.7425038]; ycentre = 0.15211385

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