Méthode géométrique pour répartir les diminutions sur le rang

Méthode géométrique pour répartir d diminutions sur un rang de n mailles

On raisonne sur des intervalles de nombres réels. Une diminution consistant à tricoter deux mailles ensemble, elle compte comme une maille qui reste et une maille qui disparaît. Après les diminutions, il reste \( n - d \) mailles qui se répartissent en \( d \) diminutions et \( n - 2 d \) mailles intercalaires.

Techniquement, il s'agit de distribuer \( d \) diminutions entre \( n - 2 d \) mailles intercalaires avec la méthode décrite pour les augmentations. Le rang des \( n - 2 d \) mailles intercalaires est représenté par l'intervalle \( [0, n - 2 d] \) où la première maille correspond à l'intervalle \( [0, 1] \) et la \( (n-2d)^e \) maille à l'intervalle \( [n-2d-1, n-2d] \). La position de la diminution qui correspond à l'abscisse \( x \) est désignée par le nombre entier \( m=\text{round}(x) \).

La répartition uniforme de \( d \) abscisses \( x \) dans un intervalle \( [u, v] \) est donnée par

\[ \begin{split} x_i = u + i \frac{v-u}{d+1} \\ \text{ où } i \text{ va de } 1 \text{ à } d \end{split} \]

Comme on ne peut pas faire de diminution aux extrémités, on pose \( u = \frac{1}{2} \) et \( v = n - 2d - \frac{1}{2} \). On obtient les abscisses correspondantes

\[ \begin{split} x_i = \frac{1}{2} + i \frac{n-2d-1}{d+1} \\ \text{pour } i \text{ de } 1 \text{ à } d \end{split} \]

puis, finalement, les positions des mailles correspondantes

\[ \begin{split} m_i = \text{round}\left( \frac{1}{2} + i \frac{n-2d-1}{d+1} \right) \\ \text{pour } i \text{ de } 1 \text{ à } d \end{split} \]

Exemple numérique

\( d = 6, \quad n = 38\)

\( i \)	\( x_i \)	\( m_i \)
1	4.071	4
2	7.643	8
3	11.214	11
4	14.786	15
5	18.357	18
6	21.929	22

Pour chaque position située entre deux mailles restantes et intercalaires, on introduit un compteur de diminutions \( c_j \) pour \( j \) de \( 1 \) à \( (n - 2 d - 1) \). Les compteurs restés à zéro ne sont pas affichés.

Les mailles intercalaires se comptant en formant des différences de positions, il est utile d'ajouter une ligne dépourvue de compteur à la position 0 et une autre à la fin du tableau à la position \( n - 2 d\) :

\( j \)	\( c_j \)
0
4	1
8	1
11	1
15	1
18	1
22	1
26

La méthode géométrique ne se soucie pas de faire apparaître des séquences répétées de diminutions. Aussi, le résultat s'exprime par la liste complète des diminutions à faire:

Liste des diminutions

La méthode géométrique produit une excellente répartition, mais elle n'est utilisée que lorsque le nombre de diminutions est petit.

Méthode arithmétique

Contrairement à la méthode géométrique, la méthode arithmétique fait apparaître des répétitions.

En règle générale, on recherche des régularités et on regroupe des actions qu'on peut répéter. Afin de limiter la complexité du résultat, la méthode arithmétique n'utilise que des descriptions dont le nombre de lignes est plus petit ou égal à trois.

Par exemple, pour \( n = 38 \) et \( d = 6 \), la méthode arithmétique fait apparaître des répétitions :

ce qui signifie :
{4 m., 1 dimin., 4 m., 1 dimin., 3 m., 1 dimin. 4 m., 1 dimin., 4 m., 1 dimin., 3 m., 1 dimin. 4 m.}

alors que la méthode géométrique donne un résultat un peu différent :
{4 m, 1 dimin, 4 m, 1 dimin, 3 m, 1 dimin, 4 m, 1 dimin, 3 m, 1 dimin, 4 m, 1 dimin, 4 m}.

Calculateurs en ligne

Répartir les diminutions sur le rang

On peut choisir la méthode. En mode automatique, le calculateur utilise la méthode géométrique lorsque le nombre de diminutions est plus petit ou égal à 11, et la méthode arithmétique pour 12 diminutions ou plus.