Approximation de la loi binomiale par la loi normaleExemple: nombre de six obtenus en lançant n fois un dé à jouer (p = 1/6, q = 5/6) |
Probabilités de la loi binomiale B(n, p) où p = 1/6
\[ P(X=k)=\binom{n}{k} p^k q^{n-k} \quad \text{où} \quad q=1-p \]
Loi binomiale B(n, p) considérée comme continueLa loi binomiale est discrète et représentée par un diagramme en bâtons. La loi normale est continue et représentée par une courbe. Pour les comparer, il est nécessaire de transformer la loi binomiale en loi continue que l'on approche avec des histogrammes. Les probabilités sont représentées par les aires des rectangles: \[ \begin{align} \text{hauteur} &= \frac{\text{probabilité}}{\text{largeur}}\\ &= (\text{densité de probabilité}) \end{align} \]Approximation de la loi binomiale centrée réduite par la loi normale N(0, 1)Centrage et réduction: \( X \) = nombre de six en \( n \) lancers. \[ Y = \frac{x-\mu}{\sigma} \]où \( \quad \mu = n p \quad \) et \( \quad \sigma = \sqrt{n p q} \) Densité normale \( N(0, 1) \): \[ f(x) = \frac{e^{-x^2/2}}{\sqrt{2 \pi}} \] |
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