Tout nombre réel est nul

≪ Théorème ≫

Tout nombre réel est nul.

≪ Démonstration ≫

Soit un nombre réel \( a \) quelconque.
Considérons un nombre réel \( b \) qui lui est égal. Alors

\[ b = a \]

Multiplions les deux membres par 2

\[ 2 b = 2 a \]

Ajoutons \( (-a-2 b) \) aux deux membres

\[ -a = -2 b + a \]

Multiplions par \( a \) les deux membres

\[ -a^2 = -2 a b + a^2 \]

Ajoutons \( b^2 \) aux deux membres

\[ b^2 -a^2 = b^2 -2 a b + a^2 \]

Factorisons les deux membres au moyen des produits remarquables

\[ (b-a)(b+a) = (b-a)(b-a) \]

Divisons les deux membres par \( (b-a) \)

\[ b+a = b-a \]

Ajoutons \( (a-b) \) aux deux membres

\[ 2 a = 0 \]

Divisons les deux membres par \( 2 \)

\[ a = 0 \]

≪ Application ≫ au monde économique

Votre employeur vous verse 0 €/mois. Mais tout va bien, car pour payer une facture de n'importe quel montant, vous versez 0 € puisque tous les nombres réels sont nuls.
Vous pourriez cesser de travailler (pour faire des mathématiques ou autre chose). Les mathématiques vous simplifient grandement la vie.

Ne pas simplifier par zéro

Il est vrai que ≪ zéro fois \( a \) égale zéro fois zéro ≫

\[ 0 \cdot a = 0 \cdot 0 \]

Si on accepte de simplifier par zéro, on peut démontrer n'importe quoi, en particulier

\[ a = 0 \]

Mais où se cache l'erreur dans la ≪ démonstration ≫ du ≪ théorème ≫ ?