Pourquoi moins fois moins égale plus ?

Aspect algébrique

Les règles des signes sont des conséquences des règles du calcul algébrique.

L'opposé de l'opposé

Selon une propriété des groupes commutatifs notés additivement, tout nombre réel x possède un opposé noté (–x) tel que

x + (-x) = 0

Par commutativité,

(-x) + x = 0

Il s'ensuit que l'opposé de (–x) est x, donc

-(-x) = x

En particulier, pour la valeur x = 1,

-(-1) = 1

Multiplication par (-1)

Multiplier par (-1) équivaut à prendre l'opposé, donc

(-1)x = -x

En particulier, avec la valeur x = -1,

(-1)(-1) = -(-1) = 1

Une règle des signes:   (-a)(-b) = a b

(-a)(-b) = (-1)a(-1)b =(-1)(-1)a b = 1 a b = a b

Résumé: pourquoi moins fois moins égale plus ?

Pourquoi  (-1)(-1) x = x ?

Parce que l'opposé de l'opposé redonne la valeur de départ.

Interprétation géométrique

Une interprétation géométrique de la multiplication par (- 1)

Pour représenter géométriquement le résultat de la multiplication de x par (-1), on construit le symétrique de x par rapport à 0, et on trouve (–x)

Multiplication par (-1)

(-1)x = -x

Pour représenter géométriquement le résultat de la multiplication de (–x) par (-1), on construit le symétrique de (–x) par rapport à 0, ce qui donne x

(-1)(-x) = x

Résumé : pourquoi moins fois moins égale plus ?

Pourquoi (-1)(-1) x = x ?

Parce que le symétrique du symétrique redonne la position de départ.

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