Méthode géométrique pour répartir les augmentations sur le rang

Méthode géométrique pour répartir a augmentations sur un rang de n mailles

On raisonne sur des intervalles de nombres réels. Le rang de \( n \) mailles est représenté par l'intervalle \( [0, n] \) où la première maille correspond à l'intervalle \( [0, 1] \) et la n^e à l'intervalle \( [n-1, n] \). Les augmentations se faisant entre deux mailles, la position de l'augmentation qui correspond à l'abscisse \( x \) est désignée par les nombre entier \( m=\text{round}(x) \).

La répartition uniforme de \( a \) abscisses \( x \) dans un intervalle \( [u, v] \) est donnée par

\[ \begin{split} x_i = u + i \frac{v-u}{a+1} \\ \text{ où } i \text{ va de } 1 \text{ à } a \end{split} \]

Comme on ne peut pas faire d'augmentation aux extrémités, on pose \( u = \frac{1}{2} \) et \( v = n - \frac{1}{2} \). On obtient les abscisses correspondantes

\[ \begin{split} x_i = \frac{1}{2} + i \frac{n-1}{a+1} \\ \text{pour } i \text{ de } 1 \text{ à } a \end{split} \]

puis, finalement, les positions des mailles correspondantes

\[ \begin{split} m_i = \text{round}\left( \frac{1}{2} + i \frac{n-1}{a+1} \right) \\ \text{pour } i \text{ de } 1 \text{ à } a \end{split} \]

Exemple numérique

\( a = 6, \quad n = 40\)

\( i \)	\( x_i \)	\( m_i \)
1	6.071	6
2	11.643	12
3	17.214	17
4	22.786	23
5	28.357	28
6	33.929	34

Pour chaque position située entre deux mailles, on introduit un compteur d'augmentations \( c_j \) pour \( j \) de \( 1 \) à \( (n-1) \). Les compteurs restés à zéro ne sont pas affichés.

Les mailles intercalaires se comptant en formant des différences de positions, il est utile d'ajouter une ligne dépourvue de compteur à la position 0 et une autre à la fin du tableau à la position \( n \) :

\( j \)	\( c_j \)
0
6	1
12	1
17	1
23	1
28	1
34	1
40

La méthode géométrique ne se soucie pas de faire apparaître des séquences répétées d'augmentations. Aussi, le résultat s'exprime par la liste complète des augmentations à faire.

Liste des augmentations

La méthode géométrique n'est utilisée que lorsque le nombre d'augmentations est petit.

La réponse produite présente une symétrie: on peut la lire indifféremment du début à la fin ou de la fin au début.

Méthode arithmétique

Contrairement à la méthode géométrique, la méthode arithmétique fait apparaître des répétitions.

En règle générale, on recherche des régularités et on regroupe des actions qu'on peut répéter. Afin de limiter la complexité du résultat, la méthode arithmétique n'utilise que des descriptions dont le nombre de lignes est plus petit ou égal à trois.

Par exemple, pour \( n = 40 \) et \( a = 6 \), la méthode arithmétique fait apparaître des répétitions :

ce qui signifie :
{6 m., 1 augm., 6 m., 1 augm., 5 m., 1 augm., 6 m., 1 augm., 6 m., 1 augm., 5 m., 1 augm., 6 m.}

alors que la méthode géométrique donne un résultat un peu différent :
{6 m, 1 augm, 6 m, 1 augm, 5 m, 1 augm, 6 m, 1 augm, 5 m, 1 augm, 6 m, 1 augm, 6 m}.

Calculateurs en ligne

Répartir les augmentations sur le rang

On peut choisir la méthode. En mode automatique, le calculateur utilise la méthode géométrique lorsque le nombre d'augmentations est plus petit ou égal à 11, et la méthode arithmétique pour 12 augmentations ou plus.