Mensualité servie par la rente

Énoncé du problème

À sa retraite, une personne dispose d'un capital c.
Ce capital est placé et produit un intérêt dont le taux annuel, supposé fixe, est i.
Chaque année, des frais de gestion f sont facturés.
Une rente mensuelle constante doit être servie pendant n années.
Quelle est la valeur a de cette rente mensuelle?
On ne tient pas compte des autres paramètres (variabilité du taux, évolution du coût de la vie, impôts, ...)

Calcul de l'intérêt annuel

Pendant le 1-er mois, les intérêts sont produits par le montant c, pendant le 2-ème mois, les intérêts sont produits par le montant (c-a), pendant le 3-ème mois, les intérêts sont produits par le montant (c-2a), ..., pendant le 12-ème mois, les intérêts sont produits par le montant (c-11a), ce qui nous donne

\begin{equation*} \begin{aligned} &c \frac{i}{12} + (c-a) \frac{i}{12} +(c-2a) \frac{i}{12} \\ &+(c-3a) \frac{i}{12} +(c-4a) \frac{i}{12} +(c-5a) \frac{i}{12} \\ &+(c-6a) \frac{i}{12}+(c-7a) \frac{i}{12} +(c-8a) \frac{i}{12} \\ &+(c-9a) \frac{i}{12} +(c-10a)\frac{i}{12} +(c-11a) \frac{i}{12} \end{aligned} \end{equation*}

En simplifiant cette expression, on obtient

\[c i -\frac{11 a i}{2}\]

Évolution annuelle du capital

Suivons l'évolution du capital pendant un an. Le capital est diminué des 12 rentes mensuelles, augmenté de l'intérêt annuel et diminué des frais de gestion, ce qui nous donne le capital au début de l'année suivante:

next(c) = c - 12 a + c*i - (11 a*i)/2 - f

Calcul des mensualités

Le principe est expliqué pour le cas où le nombre d'années est n = 5. L'équation à résoudre est

next(next(next(next(next(c))))) = 0

c'est-à-dire

c (1 + i)^5 - f (5 + 10 i + 10 i^2 + 5 i^3 + i^4) - 1/2 a (120 + 295 i + 350 i^2 + 230 i^3 + 79 i^4 + 11 i^5) = 0

dont la solution est

a = (2 (c-5 f+5 c i-10 f i+10 c i^2-10 f i^2+10 c i^3-5 f i^3+5 c i^4-f i^4+c i^5))/((24+11 i) (5+10 i+10 i^2+5 i^3+i^4))

Formules de la mensualité selon le nombre d'années de service de la rente

Calcul en ligne

Capital initial:    

Durée du service de la rente
(nombre entier d'années):    

Intérêt annuel:       %

Frais annuels:    

Alternative: la rente viagère

Dans le cas où le capital est la ressource principale du financement de la retraite, la personne tombe à l'assistance publique à la fin de la période. Afin d'éviter ce risque, on peut demander une offre à une compagnie d'assurance pour transformer le capital en une rente viagère. Le calcul se base alors sur une table de mortalité, et la rente est servie à vie. Voir Espérance de vie

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