De la fréquence empirique à la probabilité: la loi des grands nombres de Bernoulli |
La loi des grands nombres de BernoulliL'événement "six" consiste à lancer un dé à jouer. L'expérience est réussie si l'on a obtenu un "six", sinon elle est ratée. Cette expérience aléatoire (ou essai) est répétée un certain nombre de fois. On calcule ensuite, pour l'événement "six", la \[ \left( \text{fréquence empirique de l'événement} \right) = \frac{ \text{nombre de succès}}{ \text{nombre d'essais} } \]Vu que le résultat du lancer d'un dé est imprévisible, on pourrait penser qu'on ne peut rien prévoir à propos de la fréquence empirique. Nous allons montrer le contraire au moyen d'une simulation. La loi des grands nombres de Bernoulli affirme que dans une série d'épreuves indépendantes, si le nombre d'expériences n tend vers l'infini, alors la suite des fréquences empiriques f(n) converge en probabilité vers la probabilité p. Dans notre exemple, la probabilité de l'événement "six" est de une chance sur six, c'est-à-dire \( \frac{1}{6} = 0.166666667 \) La loi des grands nombres de Bernoulli nous permet donc de passer des fréquences empiriques à la probabilité, mais avec une restriction de taille: quoique valide pour un très grand nombre d'essais, elle ne peut pas être appliquée à un petit nombre d'expériences ! SimulationsPour illustrer cette loi, des simulations sont effectuées avec les nombres d'essais suivants: \( 1, 6, 60, 600, 6000, 60000, 600000 \), chaque simulation étant répétée 12 fois. Observer que
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