La quadrature du cercle

Transcendance du nombre π

Les problèmes de quadrature

Considérons par exemple le problème de la quadrature du parallélogramme: un parallélogramme étant donné, construire - avec la règle et le compas - un carré de même aire.

Quadrature du parallélogramme

  1. le parallélogramme est transformé en un rectangle de dimensions p, q ;
  2. au moyen du théorème de la hauteur, on construit h tel que h2 = p q ;
  3. le carré de côté h est solution.

La quadrature du cercle

Un disque étant donné, construire - avec la règle et le compas - un carré de même aire.

Pendant des siècles, de nombreux mathématiciens ont effectué de nombreuses recherches sur ce problème, sans succès.

En 1882, l'allemand Ferdinand Lindemann démontra que π est un nombre transcendant (c'est-à-dire qu'il ne vérifie aucune équation polynomiale à coefficients entiers). Une conséquence de ce théorème d'algèbre est que le problème de la quadrature du cercle n'a pas de solution.

Une autre conséquence est que π est un nombre irrationnel (en particulier π ≠ 3.1416 et π ≠ 22/7).

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