Division par zéro

L'inverse de 0

L'inverse du nombre réel \( a \), noté

\[ b = \frac{1}{a} \]

est le nombre réel \( b \) qui vérifie la propriété

\[ a b = 1 \]

Par exemple, l'inverse de \( 5 \) est \( 0.2 \) car \( 5 \times 0.2 = 1 \).

Dans le but de déterminer l'inverse de \( 0 \), noté

\[ b = \frac{1}{0} \]

nous aimerions trouver le nombre \( b \) tel que

\[ 0 \times b = 1 \]

Or, nous savons que, pour tout nombre réel \( b \),

\[ 0 \times b = 0 \]

Donc, il n'existe aucun nombre réel \( b \) tel que

\[ 0 \times b = 1 \]

ce qui démontre que \( 0 \) n'a pas d'inverse. En résumé,

\[ \frac{1}{0}\ \quad \text{n'existe pas} \]

Eviter la confusion

Il ne faut pas confondre la question précédente avec la division de \( 0 \) par un nombre non nul, opération qui ne présente aucune difficulté particulière, par exemple :

\[ \frac{0}{1} = 0 \]

Application concrète

S'il faut répartir équitablement 0 € entre 10 personnes, la division est possible et donne le résultat suivant: chacune des 10 personnes reçoit très exactement 0 €.

Par contre, s'il faut répartir équitablement 100 € entre 0 personne, nous avons un problème. La répartition n'est pas possible : on ne peut pas dire combien chacun reçoit puisqu'il n'y a aucun «chacun». Les 100 € sont en déshérence !

Limites au voisinage de zéro

Limite à droite, ou limite par valeurs supérieures

Pour des valeurs de \( x \) tendant vers 0 par valeurs supérieures, par exemple

0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, ...

les inverses \( \frac{1}{x} \) prennent les valeurs correspondantes suivantes

10, 100, 1000, 10000, ...

On exprime ce comportement en disant que «la limite de \( \frac{1}{x} \) pour \( x \) tendant vers 0 par valeurs supérieures est +∞».

Limite à gauche ou limite par valeurs inférieures

Pour des valeurs de \( x \) tendant vers 0 par valeurs inférieures, par exemple

-0.1, -0.01, -0.001, -0.0001, ...

les inverses \( \frac{1}{x} \) prennent les valeurs correspondantes suivantes

-10, -100, -1000, -10000, ...

On exprime ce comportement en disant que «la limite de \( \frac{1}{x} \) pour \( x \) tendant vers 0 par valeurs inférieures est -∞».

Limite en 0

Pour \( x \) tendant vers 0, comment se comporte \( \frac{1}{x} \) ? Lorsqu'on ne précise pas la manière dont \( x \) tend vers 0, il faut comprendre que \( x \) peut tendre vers 0 de n'importe quelle manière, par exemple

+0.1, -0.01, +0.001, -0.0001, +0.00001, ...

les inverses \( \frac{1}{x} \) prennent les valeurs correspondantes suivantes

+10, -100, +1000, -10000, +100000, ...

En choisissant d'autres exemples, on obtient des comportements différents. Ainsi, il n'est pas possible de donner une valeur unique comme réponse.

On exprime ce comportement en disant que «la limite de \( \frac{1}{x} \) pour \( x \) tendant vers 0 n'existe pas».