Démonstration du théorème de Pythagore

Considérons un triangle rectangle dont les cathètes ont pour longueurs respectives \( b \) et \( c \) et dont l'hypoténuse a la longueur \( a \).
Dans le but de démontrer que

\[ b^2 + c^2 = a^2 \tag{I} \]

prolongeons les cathètes pour former un carré dont les côtés mesurent \( (b + c) \)

Pour désigner l'aire du triangle, notons

\[ T = \frac{1}{2} b c \tag{II} \]

En répertoriant toutes les aires qui constituent le grand carré, on obtient

\[ (b+c)^2 = b^2 + c^2 + 4 T \tag{III} \]

Déplaçons maintenant les triangles pour reformer le grand carré d'une autre manière.

Dans le quadrilatère central, les quatre angles sont égaux; il s'agit donc d'un carré de côté \( a \).
En inventoriant les aires du grand carré

\[ (b+c)^2 = a^2 + 4 T \tag{IV} \]

En comparant les égalités \( \text{(III)} \) et \( \text{(IV)} \), on peut conclure que

\[ b^2 + c^2 = a^2 \tag{I} \]