Pourquoi moins fois moins égale plus ?

Aspect algébrique

Les règles des signes sont des conséquences des règles du calcul algébrique.

L'opposé de l'opposé

Selon une propriété des groupes commutatifs notés additivement, tout nombre réel \( x \) possède un opposé noté \( (-x) \) tel que

\[ x + (-x) = 0 \]

Par commutativité,

\[ (-x) + x = 0 \]

Il s'ensuit que l'opposé de \( (-x) \) est \( x \), donc

\[ -(-x) = x \]

En particulier, pour la valeur \( x = 1 \),

\[ -(-1) = 1 \]

Multiplication par \( (-1) \)

Multiplier par \( (-1) \) équivaut à prendre l'opposé, donc

\[ (-1)x = -x \]

En particulier, avec la valeur \( x = -1 \),

\[ (-1)(-1)= -(-1) = 1 \]

Une règle des signes:   \( (-a)(-b) = a b \)

\[ (-a)(-b) = (-1)a(-1)b =(-1)(-1)a b = 1 a b = a b \]

Résumé: pourquoi moins fois moins égale plus ?

Pourquoi  \( (-1)(-1) x = x \)  ?

Parce que l'opposé de l'opposé redonne la valeur de départ.

Interprétation géométrique

Une interprétation géométrique de la multiplication par \( (- 1) \)

Pour représenter géométriquement le résultat de la multiplication de \( x \) par \( (-1) \), on construit le symétrique de \( x \) par rapport à \( 0 \), et on trouve \( (-x) \)

\[ (-1)x = -x \]

Pour représenter géométriquement le résultat de la multiplication de \( (-x) \) par \( (-1) \), on construit le symétrique de \( (-x) \) par rapport à \( 0 \), ce qui donne \( x \)

\[ (-1)(-x) = x \]

Résumé : pourquoi moins fois moins égale plus ?

Pourquoi \( (-1)(-1) x = x \)  ?

Parce que le symétrique du symétrique redonne la position de départ.